文章目录
周期信号的频谱及特点1 周期信号的频谱2 单边谱和双边谱的关系3 周期信号频谱的特点4 周期信号的功率
周期信号的频谱及特点
频谱——信号的一种新的表示方法
1 周期信号的频谱
频谱：周期信号分解后，各分量的幅度和相位对于频率的变化，分别为幅度谱和相位谱。
频谱图：将幅度和相位分量用一定高度的直线表示；其中幅度谱图反映了信号不同频率分量的大小。
三角函数形式分解
虚指数函数形式分解
引入虚指数形式(双边谱)是为了计算上的方便。
2 单边谱和双边谱的关系
∣
F
n
∣
|F_n|
∣Fn∣是
n
n
n的偶函数，双边幅度谱的谱线高度为单边幅度谱的一半，且关于纵轴对称；而直流分量值不变。
ϕ
n
ϕ_n
ϕn是
n
n
n的奇函数，双边相位谱可以由单边相位谱直接关于零点奇对称。
3 周期信号频谱的特点
s
i
n
x
=
e
j
x
−
e
−
j
x
2
j
sinx=\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}
sinx=2jejx−e−jx
S
a
(
x
)
=
s
i
n
(
x
)
x
Sa(x)=\frac{sin(x)}{x}
Sa(x)=xsin(x)
注意脉冲的非0即1特性，数字信号由0-1表示或变形的，可以从矩形脉冲引申过去。 正弦等于0的点：零点
零点与零点间隔为
2
π
τ
\frac{2\pi}{\tau}
τ2π，谱线与谱线的间隔为
2
π
T
\frac{2\pi}{T}
T2π
周期信号频谱的特点： (1) 离散性：以基频
Ω
Ω
Ω为间隔的若干离散谱线组成； (2) 谐波性：谱线仅含有基频
Ω
Ω
Ω的整数倍分量
ω
\omega
ω是基波，
n
ω
n\omega
nω是谐波； (3) 收敛性：整体趋势减小。
谱线结构与波形参数的关系:
分析：
T
T
T不变，
τ
\tau
τ变小
谱线间隔
Ω
\Omega
Ω不变幅度下降零点右移，两零点间的谱线数目(
T
/
τ
T/\tau
T/τ) 增加 。
结论：
T
T
T不变，
τ
\tau
τ变小
时域压缩（脉冲变窄），频域展宽（频带变宽）
τ
\tau
τ不变，
T
↑
T↑
T↑，幅度
↓
↓
↓，间隔
Ω
↓
\Omega↓
Ω↓，频谱变密。
T
→
∞
T→∞
T→∞时，谱线间隔
Ω
=
2
π
/
T
→
0
\Omega=2π/T →0
Ω=2π/T→0，谱线幅度
→
0
→0
→0，周期信号的离散频谱过渡为非周期信号的连续频谱。
T
→
∞
T→∞
T→∞：得到信号一个周期内的部分，其他在无穷大以外，所以是非周期的。
收敛性分析:
(1) 振幅是收敛的：信号的能量主要集中在低频分量中。
(2) 收敛具有不同速度：信号越连续光滑，幅度谱衰减越快。
低频反映信号的主要信息，高频表现细节。
4 周期信号的功率
周期信号一般是功率信号，其平均功率为 这是帕斯瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;
含义： 周期信号平均功率=直流和谐波分量平均功率之和。
表明： 对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等。
频带宽度
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度
由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。
(1) 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：
宽度与脉宽成反比
(2) 对于一般周期信号，将幅度下降为
1
10
∣
F
n
∣
m
a
x
\frac{1}{10}|F_n|_{max}
101∣Fn∣max的频率区间定义为频带宽度。
(3) 系统的通频带>信号的带宽，才能不失真。
ps:为了限制信号的幅频失真，就要求电路对信号所包含的各种频率成分都不要过分抑制，或者说要求电路容许一定频率范围的信号都通过，这个一定的频率范围称为电路的通频带。一般规定：在电路的通用谐振曲线上，比值不小于0.707的频率范围是放大电路的通频带，并以BW表示。
《工程信号与系统》作者：郭宝龙等 中国大学MOOC：信号与系统 ，西安电子科技大学，郭宝龙，朱娟娟