矩阵等价是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个矩阵之间的一种特殊关系，这种关系蕴含着矩阵的本质属性，而不依赖于具体的表示形式。 让我们详细探讨矩阵等价的定义、性质以及与其他矩阵关系的区别。
1. 定义
两个 m×nm \times nm×n 的矩阵 AAA 和 BBB 称为等价，如果存在可逆矩阵 PPP ( m×mm \times mm×m) 和 QQQ (n×nn \times nn×n) 使得：
B=PAQ B = PAQ B=PAQ
这表示 BBB 可以通过对 AAA 进行一系列初等变换得到。 这些初等变换包括：
行变换: 对 AAA 的行进行初等行变换，对应于左乘一个可逆矩阵 PPP。列变换: 对 AAA 的列进行初等列变换，对应于右乘一个可逆矩阵 QQQ。
2. 等价的性质
自反性: 矩阵 AAA 等价于自身 (A=IAIA = IA IA=IAI, 其中 III 是单位矩阵)。对称性: 如果 AAA 等价于 BBB，则 BBB 等价于 AAA。 因为如果 B=PAQB = PAQB=PAQ，则 A=P−1BQ−1A = P^{-1}BQ^{-1}A=P−1BQ−1。传递性: 如果 AAA 等价于 BBB，且 BBB 等价于 CCC，则 AAA 等价于 CCC。 因为如果 B=PAQB = PAQB=PAQ 且 C=RBSC = RBSC=RBS, 则 C=R(PAQ)S=(RP)A(QS)C = R(PAQ)S = (RP)A(QS)C=R(PAQ)S=(RP)A(QS)，而 RPRPRP 和 QSQSQS 都是可逆矩阵。
3. 等价的判定
判定两个矩阵是否等价，关键在于它们的秩。 两个 m×nm \times nm×n 的矩阵 AAA 和 BBB 等价的充要条件是它们具有相同的秩：
rank(A)=rank(B) rank(A) = rank(B) rank(A)=rank(B)
这意味着，无论对矩阵进行怎样的行变换和列变换，矩阵的秩都不会改变。 秩表示了矩阵的列向量空间（或行向量空间）的维数，它反映了矩阵的本质属性。
4. 等价与相似、合同的区别
矩阵等价与其他一些矩阵关系密切相关，但又有区别：
相似: 两个 n×nn \times nn×n 矩阵 AAA 和 BBB 相似，如果存在可逆矩阵 PPP 使得 B=P−1APB = P^{-1}APB=P−1AP。 相似是等价关系的一个特例，它只对方阵有定义，并且要求左乘和右乘的矩阵互为逆矩阵。 相似的矩阵具有相同的特征值，但等价的矩阵不一定具有相同的特征值。
合同: 两个 n×nn \times nn×n 对称矩阵 AAA 和 BBB 合同，如果存在可逆矩阵 PPP 使得 B=PTAPB = P^TAPB=PTAP。 合同只对对称矩阵有定义，并且要求 PPP 的转置参与运算。 合同的矩阵具有相同的正惯性指数、负惯性指数和零惯性指数。
5. 总结
矩阵等价是一个非常重要的概念，它揭示了矩阵在初等变换下的不变性。 两个矩阵等价意味着它们在本质上是相同的，只是表示形式不同。 判定矩阵等价的关键在于它们的秩。 要理解矩阵等价，需要把它与相似和合同等其他矩阵关系进行比较，理解它们之间的联系和区别。 通过理解这些概念，可以更深入地理解线性代数的本质。